SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL

Secara terstruktur, sistem bilangan dapat dipaparkan, yaitu bilangan Kompleks ( C ) yang terdiri dari bilangan Real dan bilangan Imajiner. Bilangan Real terdiri dari bilangan Rasional dan bilangan Irrasional. Bilangan Rasional terdiri dari bilangan Pecahan dan bilangan Bulat. Bilangan Bulat terdiri dari bilangan Cacah, bilangan Bulat Negatif. Dimana bilangan Cacah terdiri dari bilangan Asli dan bilangan Nol.

C = bilangan kompleks

I = bilangan irrasional

R = bilangan Real

N = bilangan asli {1,2,3,4,5,…}

Z = bilangan bulat {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

Q = bilangan rasional 

Sistem bilangan real adalah himpunan yang dilengkapi dengan operasi biner +(penjumlahan) dan .(perkalian) yang memenuhi tiga aksioma berikut:

1.      Aksioma Lapangan, mengatur berbagai sifat aljabar bilangan real.

2.      Aksioma Urutan, mengatur bilangan positif, negative, relasi lebih kecil, relasi lebih besar, persamaan, pertidaksamaan dan ketaksamaan.

3.      Aksioma Kelengkapan, mengatur sifat korespondensi satu-kesatu antara bilangan real dan garis lurus.

Sifat-Sifat Bilangan Real

Sifat Aljabar. Operasi bilangan bulat (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) pada himpunan bilangan real memenuhi sifat-sifat berikut:

1.      Penjumlahan bilangan bulat:

a.       Komutatif             : a + b = b + a

b.      Asosiatif                : (a + b) + c = a + (b + c)

c.       Distributif             : (a + b) x c = (a x c) + (b x c)

d.      Bilangan Nol         : a + 0 = a = 0 = 0 + a ; 0 + 0 = 0

2.      Pengurangan bilangan bulat:

a.       Distributive           : (a – b) x c = (a x c) – (b x c)

3.      Perkalian bilangan bulat:

a.       Komutatif             : a x b = b x a

b.      Asosiatif                : (a x b) x c = a x (b x c)

c.       Bilangan Nol         : a x 0 = 0 = 0 x a

d.      Bilangan Satuan    : a x 1 = a = 1 x a

4.      Pembagian bilangan bulat:

a.       Tidak Asosiatif     : (a : b) : c ≠ a : (b : c)

b.      Bilangan Nol         :

i.                    0 : a = 0

ii.                  a : 0 = tidak terdefinisi

iii.                0 : 0 = tidak memiliki hasil tunggal (~)

5.      Memiliki invers bilangan bulat:

a.       Untuk setiap a trdi R terdapat (–a) di R sehingga a + (–a) = (–a) + a = 0 (terhadap penjumlahan).

b.      Untuk setiap a, “kecuali a=0”, di R terdapat 1/a di R sehingga a . 1/a = 1/a . a = 1 (terhadap perkalian).

Sifat-sifat Urutan. Bilangan real memenuhi sifat-sifat urutan sebagai berikut:

·         Trikonomi. Jika x dan y merupakan bilangan real, maka tepat satu di antara berikut ini yang berlaku:

x>y , x=y , x<y .

·         Ketransitifan. Jika x<y dan y<z maka x<z .

·         Penjumlahan. x<y jika dan hanya jika x+z < y+z .

·         Perkalian. Misalkan z>0 , maka x<y jika dan hanya jika xz<yz , dan untuk z<0 maka x<y jika dan hanya jika xz>yz .

Sifat Kelengkapan. Sifat kelengkapan ini menyatakan bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di atas mempunyai batas atas terkecil atau kita sebut sebagai supremum, dan setiap himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di bawah mempunyai batas bawah terbesar atau kita sebut sebagai infimum.